\(\int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx\) [56]

Optimal result

Integrand size = 21, antiderivative size = 397 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=-\frac {720 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {360 a e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {720 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 a e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {180 a e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {36 a^2 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {120 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {60 a e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-30 e^{-a-b x} x^4-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6 \]

[Out]

-720*exp(-b*x-a)/b^4-360*a*exp(-b*x-a)/b^4-72*a^2*exp(-b*x-a)/b^4-6*a^3*exp(-b*x-a)/b^4-720*exp(-b*x-a)*x/b^3-
360*a*exp(-b*x-a)*x/b^3-72*a^2*exp(-b*x-a)*x/b^3-6*a^3*exp(-b*x-a)*x/b^3-360*exp(-b*x-a)*x^2/b^2-180*a*exp(-b*
x-a)*x^2/b^2-36*a^2*exp(-b*x-a)*x^2/b^2-3*a^3*exp(-b*x-a)*x^2/b^2-120*exp(-b*x-a)*x^3/b-60*a*exp(-b*x-a)*x^3/b
-12*a^2*exp(-b*x-a)*x^3/b-a^3*exp(-b*x-a)*x^3/b-30*exp(-b*x-a)*x^4-15*a*exp(-b*x-a)*x^4-3*a^2*exp(-b*x-a)*x^4-
6*b*exp(-b*x-a)*x^5-3*a*b*exp(-b*x-a)*x^5-b^2*exp(-b*x-a)*x^6

Rubi [A] (verified)

Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 397, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 24, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.143, Rules used = {2227, 2207, 2225} \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=-\frac {6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {6 a^3 x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac {3 a^3 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-\frac {a^3 x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {72 a^2 x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac {36 a^2 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-3 a^2 x^4 e^{-a-b x}-\frac {12 a^2 x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac {360 a e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {720 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {360 a x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac {720 x e^{-a-b x}}{b^3}-b^2 x^6 e^{-a-b x}-\frac {180 a x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-\frac {360 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-3 a b x^5 e^{-a-b x}-6 b x^5 e^{-a-b x}-15 a x^4 e^{-a-b x}-30 x^4 e^{-a-b x}-\frac {60 a x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac {120 x^3 e^{-a-b x}}{b} \]

[In]

Int[E^(-a - b*x)*x^3*(a + b*x)^3,x]

[Out]

(-720*E^(-a - b*x))/b^4 - (360*a*E^(-a - b*x))/b^4 - (72*a^2*E^(-a - b*x))/b^4 - (6*a^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (7
20*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*a*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (72*a^2*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (6*a^3*E^(-a - b*x)*x)/b^3
- (360*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (180*a*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (36*a^2*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (3*a^3*E^(-a -
b*x)*x^2)/b^2 - (120*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (60*a*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (12*a^2*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (a^3*E^(-
a - b*x)*x^3)/b - 30*E^(-a - b*x)*x^4 - 15*a*E^(-a - b*x)*x^4 - 3*a^2*E^(-a - b*x)*x^4 - 6*b*E^(-a - b*x)*x^5
- 3*a*b*E^(-a - b*x)*x^5 - b^2*E^(-a - b*x)*x^6

Rule 2207

Int[((b_.)*(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*
((b*F^(g*(e + f*x)))^n/(f*g*n*Log[F])), x] - Dist[d*(m/(f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*F^(g*(e + f*x
)))^n, x], x] /; FreeQ[{F, b, c, d, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0] && IntegerQ[2*m] &&  !TrueQ[$UseGamma]

Rule 2225

Int[((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(F^(c*(a + b*x)))^n/(b*c*n*Log[F]), x] /; Fre
eQ[{F, a, b, c, n}, x]

Rule 2227

Int[(F_)^((c_.)*(v_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[F^(c*ExpandToSum[v, x]), u, x], x] /; FreeQ[{F, c
}, x] && PolynomialQ[u, x] && LinearQ[v, x] &&  !TrueQ[$UseGamma]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int \left (a^3 e^{-a-b x} x^3+3 a^2 b e^{-a-b x} x^4+3 a b^2 e^{-a-b x} x^5+b^3 e^{-a-b x} x^6\right ) \, dx \\ & = a^3 \int e^{-a-b x} x^3 \, dx+\left (3 a^2 b\right ) \int e^{-a-b x} x^4 \, dx+\left (3 a b^2\right ) \int e^{-a-b x} x^5 \, dx+b^3 \int e^{-a-b x} x^6 \, dx \\ & = -\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6+\left (12 a^2\right ) \int e^{-a-b x} x^3 \, dx+\frac {\left (3 a^3\right ) \int e^{-a-b x} x^2 \, dx}{b}+(15 a b) \int e^{-a-b x} x^4 \, dx+\left (6 b^2\right ) \int e^{-a-b x} x^5 \, dx \\ & = -\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6+(60 a) \int e^{-a-b x} x^3 \, dx+\frac {\left (6 a^3\right ) \int e^{-a-b x} x \, dx}{b^2}+\frac {\left (36 a^2\right ) \int e^{-a-b x} x^2 \, dx}{b}+(30 b) \int e^{-a-b x} x^4 \, dx \\ & = -\frac {6 a^3 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {36 a^2 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {60 a e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-30 e^{-a-b x} x^4-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6+120 \int e^{-a-b x} x^3 \, dx+\frac {\left (6 a^3\right ) \int e^{-a-b x} \, dx}{b^3}+\frac {\left (72 a^2\right ) \int e^{-a-b x} x \, dx}{b^2}+\frac {(180 a) \int e^{-a-b x} x^2 \, dx}{b} \\ & = -\frac {6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {180 a e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {36 a^2 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {120 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {60 a e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-30 e^{-a-b x} x^4-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6+\frac {\left (72 a^2\right ) \int e^{-a-b x} \, dx}{b^3}+\frac {(360 a) \int e^{-a-b x} x \, dx}{b^2}+\frac {360 \int e^{-a-b x} x^2 \, dx}{b} \\ & = -\frac {72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {360 a e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {180 a e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {36 a^2 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {120 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {60 a e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-30 e^{-a-b x} x^4-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6+\frac {(360 a) \int e^{-a-b x} \, dx}{b^3}+\frac {720 \int e^{-a-b x} x \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {360 a e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {720 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 a e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {180 a e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {36 a^2 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {120 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {60 a e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-30 e^{-a-b x} x^4-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6+\frac {720 \int e^{-a-b x} \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {720 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {360 a e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac {720 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 a e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {72 a^2 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {6 a^3 e^{-a-b x} x}{b^3}-\frac {360 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {180 a e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {36 a^2 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {3 a^3 e^{-a-b x} x^2}{b^2}-\frac {120 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {60 a e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {12 a^2 e^{-a-b x} x^3}{b}-\frac {a^3 e^{-a-b x} x^3}{b}-30 e^{-a-b x} x^4-15 a e^{-a-b x} x^4-3 a^2 e^{-a-b x} x^4-6 b e^{-a-b x} x^5-3 a b e^{-a-b x} x^5-b^2 e^{-a-b x} x^6 \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.28 (sec) , antiderivative size = 121, normalized size of antiderivative = 0.30 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=e^{-a-b x} \left (-\frac {6 \left (120+60 a+12 a^2+a^3\right )}{b^4}-\frac {6 \left (120+60 a+12 a^2+a^3\right ) x}{b^3}-\frac {3 \left (120+60 a+12 a^2+a^3\right ) x^2}{b^2}-\frac {\left (120+60 a+12 a^2+a^3\right ) x^3}{b}-3 \left (10+5 a+a^2\right ) x^4-3 (2+a) b x^5-b^2 x^6\right ) \]

[In]

Integrate[E^(-a - b*x)*x^3*(a + b*x)^3,x]

[Out]

E^(-a - b*x)*((-6*(120 + 60*a + 12*a^2 + a^3))/b^4 - (6*(120 + 60*a + 12*a^2 + a^3)*x)/b^3 - (3*(120 + 60*a +
12*a^2 + a^3)*x^2)/b^2 - ((120 + 60*a + 12*a^2 + a^3)*x^3)/b - 3*(10 + 5*a + a^2)*x^4 - 3*(2 + a)*b*x^5 - b^2*
x^6)

Maple [A] (verified)

Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 178, normalized size of antiderivative = 0.45

method	result	size
norman	\(\left (-3 a b -6 b \right ) x^{5} {\mathrm e}^{-b x -a}+\left (-3 a^{2}-15 a -30\right ) x^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}-b^{2} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{6}-\frac {6 \left (a^{3}+12 a^{2}+60 a +120\right ) {\mathrm e}^{-b x -a}}{b^{4}}-\frac {6 \left (a^{3}+12 a^{2}+60 a +120\right ) x \,{\mathrm e}^{-b x -a}}{b^{3}}-\frac {3 \left (a^{3}+12 a^{2}+60 a +120\right ) x^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}}{b^{2}}-\frac {\left (a^{3}+12 a^{2}+60 a +120\right ) x^{3} {\mathrm e}^{-b x -a}}{b}\)	\(178\)
gosper	\(-\frac {\left (b^{6} x^{6}+3 b^{5} x^{5} a +3 a^{2} b^{4} x^{4}+6 b^{5} x^{5}+a^{3} b^{3} x^{3}+15 a \,b^{4} x^{4}+12 a^{2} b^{3} x^{3}+30 b^{4} x^{4}+3 a^{3} b^{2} x^{2}+60 a \,b^{3} x^{3}+36 a^{2} b^{2} x^{2}+120 b^{3} x^{3}+6 a^{3} b x +180 a \,b^{2} x^{2}+72 a^{2} b x +360 b^{2} x^{2}+6 a^{3}+360 a b x +72 a^{2}+720 b x +360 a +720\right ) {\mathrm e}^{-b x -a}}{b^{4}}\)	\(182\)
risch	\(-\frac {\left (b^{6} x^{6}+3 b^{5} x^{5} a +3 a^{2} b^{4} x^{4}+6 b^{5} x^{5}+a^{3} b^{3} x^{3}+15 a \,b^{4} x^{4}+12 a^{2} b^{3} x^{3}+30 b^{4} x^{4}+3 a^{3} b^{2} x^{2}+60 a \,b^{3} x^{3}+36 a^{2} b^{2} x^{2}+120 b^{3} x^{3}+6 a^{3} b x +180 a \,b^{2} x^{2}+72 a^{2} b x +360 b^{2} x^{2}+6 a^{3}+360 a b x +72 a^{2}+720 b x +360 a +720\right ) {\mathrm e}^{-b x -a}}{b^{4}}\)	\(182\)
meijerg	\(\frac {{\mathrm e}^{-a} \left (720-\frac {\left (7 b^{6} x^{6}+42 b^{5} x^{5}+210 b^{4} x^{4}+840 b^{3} x^{3}+2520 b^{2} x^{2}+5040 b x +5040\right ) {\mathrm e}^{-b x}}{7}\right )}{b^{4}}+\frac {3 \,{\mathrm e}^{-a} a \left (120-\frac {\left (6 b^{5} x^{5}+30 b^{4} x^{4}+120 b^{3} x^{3}+360 b^{2} x^{2}+720 b x +720\right ) {\mathrm e}^{-b x}}{6}\right )}{b^{4}}+\frac {3 \,{\mathrm e}^{-a} a^{2} \left (24-\frac {\left (5 b^{4} x^{4}+20 b^{3} x^{3}+60 b^{2} x^{2}+120 b x +120\right ) {\mathrm e}^{-b x}}{5}\right )}{b^{4}}+\frac {{\mathrm e}^{-a} a^{3} \left (6-\frac {\left (4 b^{3} x^{3}+12 b^{2} x^{2}+24 b x +24\right ) {\mathrm e}^{-b x}}{4}\right )}{b^{4}}\)	\(215\)
parallelrisch	\(-\frac {b^{6} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{6}+3 b^{5} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{5} a +6 b^{5} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{5}+3 x^{4} {\mathrm e}^{-b x -a} a^{2} b^{4}+15 x^{4} {\mathrm e}^{-b x -a} a \,b^{4}+x^{3} {\mathrm e}^{-b x -a} a^{3} b^{3}+30 \,{\mathrm e}^{-b x -a} b^{4} x^{4}+12 x^{3} {\mathrm e}^{-b x -a} a^{2} b^{3}+60 \,{\mathrm e}^{-b x -a} a \,b^{3} x^{3}+3 x^{2} {\mathrm e}^{-b x -a} a^{3} b^{2}+120 \,{\mathrm e}^{-b x -a} x^{3} b^{3}+36 \,{\mathrm e}^{-b x -a} a^{2} b^{2} x^{2}+180 x^{2} {\mathrm e}^{-b x -a} a \,b^{2}+6 \,{\mathrm e}^{-b x -a} a^{3} b x +360 b^{2} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{2}+72 x \,{\mathrm e}^{-b x -a} a^{2} b +360 a b \,{\mathrm e}^{-b x -a} x +6 \,{\mathrm e}^{-b x -a} a^{3}+720 b \,{\mathrm e}^{-b x -a} x +72 a^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+360 a \,{\mathrm e}^{-b x -a}+720 \,{\mathrm e}^{-b x -a}}{b^{4}}\)	\(372\)
derivativedivides	\(-\frac {{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{6}-6 \left (-b x -a \right )^{5} {\mathrm e}^{-b x -a}+30 \left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}-120 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}+360 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}-720 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}+720 \,{\mathrm e}^{-b x -a}+a^{3} \left ({\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}-3 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+6 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}-6 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )+3 a^{2} \left (\left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}-4 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}+12 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}-24 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}+24 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )+3 a \left (\left (-b x -a \right )^{5} {\mathrm e}^{-b x -a}-5 \left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}+20 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}-60 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+120 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}-120 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )}{b^{4}}\)	\(432\)
default	\(-\frac {{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{6}-6 \left (-b x -a \right )^{5} {\mathrm e}^{-b x -a}+30 \left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}-120 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}+360 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}-720 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}+720 \,{\mathrm e}^{-b x -a}+a^{3} \left ({\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}-3 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+6 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}-6 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )+3 a^{2} \left (\left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}-4 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}+12 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}-24 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}+24 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )+3 a \left (\left (-b x -a \right )^{5} {\mathrm e}^{-b x -a}-5 \left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}+20 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}-60 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+120 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}-120 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )}{b^{4}}\)	\(432\)
parts	\(-b^{2} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{6}-3 a b \,{\mathrm e}^{-b x -a} x^{5}-3 a^{2} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{4}-\frac {a^{3} {\mathrm e}^{-b x -a} x^{3}}{b}-\frac {3 \left (-\frac {2 \left (\left (-b x -a \right )^{5} {\mathrm e}^{-b x -a}-5 \left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}+20 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}-60 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+120 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}-120 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )}{b^{2}}-\frac {a^{3} \left (\left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}-2 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}+2 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )}{b^{2}}-\frac {4 a^{2} \left ({\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}-3 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}+6 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}-6 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )}{b^{2}}-\frac {5 a \left (\left (-b x -a \right )^{4} {\mathrm e}^{-b x -a}-4 \,{\mathrm e}^{-b x -a} \left (-b x -a \right )^{3}+12 \left (-b x -a \right )^{2} {\mathrm e}^{-b x -a}-24 \left (-b x -a \right ) {\mathrm e}^{-b x -a}+24 \,{\mathrm e}^{-b x -a}\right )}{b^{2}}\right )}{b^{2}}\)	\(435\)

[In]

int(exp(-b*x-a)*x^3*(b*x+a)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

(-3*a*b-6*b)*x^5*exp(-b*x-a)+(-3*a^2-15*a-30)*x^4*exp(-b*x-a)-b^2*exp(-b*x-a)*x^6-6*(a^3+12*a^2+60*a+120)/b^4*
exp(-b*x-a)-6*(a^3+12*a^2+60*a+120)/b^3*x*exp(-b*x-a)-3*(a^3+12*a^2+60*a+120)/b^2*x^2*exp(-b*x-a)-(a^3+12*a^2+
60*a+120)/b*x^3*exp(-b*x-a)

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.26 (sec) , antiderivative size = 121, normalized size of antiderivative = 0.30 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=-\frac {{\left (b^{6} x^{6} + 3 \, {\left (a + 2\right )} b^{5} x^{5} + 3 \, {\left (a^{2} + 5 \, a + 10\right )} b^{4} x^{4} + {\left (a^{3} + 12 \, a^{2} + 60 \, a + 120\right )} b^{3} x^{3} + 3 \, {\left (a^{3} + 12 \, a^{2} + 60 \, a + 120\right )} b^{2} x^{2} + 6 \, a^{3} + 6 \, {\left (a^{3} + 12 \, a^{2} + 60 \, a + 120\right )} b x + 72 \, a^{2} + 360 \, a + 720\right )} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} \]

[In]

integrate(exp(-b*x-a)*x^3*(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(b^6*x^6 + 3*(a + 2)*b^5*x^5 + 3*(a^2 + 5*a + 10)*b^4*x^4 + (a^3 + 12*a^2 + 60*a + 120)*b^3*x^3 + 3*(a^3 + 12
*a^2 + 60*a + 120)*b^2*x^2 + 6*a^3 + 6*(a^3 + 12*a^2 + 60*a + 120)*b*x + 72*a^2 + 360*a + 720)*e^(-b*x - a)/b^
4

Sympy [A] (verification not implemented)

Time = 0.10 (sec) , antiderivative size = 236, normalized size of antiderivative = 0.59 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=\begin {cases} \frac {\left (- a^{3} b^{3} x^{3} - 3 a^{3} b^{2} x^{2} - 6 a^{3} b x - 6 a^{3} - 3 a^{2} b^{4} x^{4} - 12 a^{2} b^{3} x^{3} - 36 a^{2} b^{2} x^{2} - 72 a^{2} b x - 72 a^{2} - 3 a b^{5} x^{5} - 15 a b^{4} x^{4} - 60 a b^{3} x^{3} - 180 a b^{2} x^{2} - 360 a b x - 360 a - b^{6} x^{6} - 6 b^{5} x^{5} - 30 b^{4} x^{4} - 120 b^{3} x^{3} - 360 b^{2} x^{2} - 720 b x - 720\right ) e^{- a - b x}}{b^{4}} & \text {for}\: b^{4} \neq 0 \\\frac {a^{3} x^{4}}{4} + \frac {3 a^{2} b x^{5}}{5} + \frac {a b^{2} x^{6}}{2} + \frac {b^{3} x^{7}}{7} & \text {otherwise} \end {cases} \]

[In]

integrate(exp(-b*x-a)*x**3*(b*x+a)**3,x)

[Out]

Piecewise(((-a**3*b**3*x**3 - 3*a**3*b**2*x**2 - 6*a**3*b*x - 6*a**3 - 3*a**2*b**4*x**4 - 12*a**2*b**3*x**3 -
36*a**2*b**2*x**2 - 72*a**2*b*x - 72*a**2 - 3*a*b**5*x**5 - 15*a*b**4*x**4 - 60*a*b**3*x**3 - 180*a*b**2*x**2
- 360*a*b*x - 360*a - b**6*x**6 - 6*b**5*x**5 - 30*b**4*x**4 - 120*b**3*x**3 - 360*b**2*x**2 - 720*b*x - 720)*
exp(-a - b*x)/b**4, Ne(b**4, 0)), (a**3*x**4/4 + 3*a**2*b*x**5/5 + a*b**2*x**6/2 + b**3*x**7/7, True))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 196, normalized size of antiderivative = 0.49 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=-\frac {{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, b^{2} x^{2} + 6 \, b x + 6\right )} a^{3} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} - \frac {3 \, {\left (b^{4} x^{4} + 4 \, b^{3} x^{3} + 12 \, b^{2} x^{2} + 24 \, b x + 24\right )} a^{2} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} - \frac {3 \, {\left (b^{5} x^{5} + 5 \, b^{4} x^{4} + 20 \, b^{3} x^{3} + 60 \, b^{2} x^{2} + 120 \, b x + 120\right )} a e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} - \frac {{\left (b^{6} x^{6} + 6 \, b^{5} x^{5} + 30 \, b^{4} x^{4} + 120 \, b^{3} x^{3} + 360 \, b^{2} x^{2} + 720 \, b x + 720\right )} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} \]

[In]

integrate(exp(-b*x-a)*x^3*(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(b^3*x^3 + 3*b^2*x^2 + 6*b*x + 6)*a^3*e^(-b*x - a)/b^4 - 3*(b^4*x^4 + 4*b^3*x^3 + 12*b^2*x^2 + 24*b*x + 24)*a
^2*e^(-b*x - a)/b^4 - 3*(b^5*x^5 + 5*b^4*x^4 + 20*b^3*x^3 + 60*b^2*x^2 + 120*b*x + 120)*a*e^(-b*x - a)/b^4 - (
b^6*x^6 + 6*b^5*x^5 + 30*b^4*x^4 + 120*b^3*x^3 + 360*b^2*x^2 + 720*b*x + 720)*e^(-b*x - a)/b^4

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.30 (sec) , antiderivative size = 202, normalized size of antiderivative = 0.51 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=-\frac {{\left (b^{9} x^{6} + 3 \, a b^{8} x^{5} + 3 \, a^{2} b^{7} x^{4} + 6 \, b^{8} x^{5} + a^{3} b^{6} x^{3} + 15 \, a b^{7} x^{4} + 12 \, a^{2} b^{6} x^{3} + 30 \, b^{7} x^{4} + 3 \, a^{3} b^{5} x^{2} + 60 \, a b^{6} x^{3} + 36 \, a^{2} b^{5} x^{2} + 120 \, b^{6} x^{3} + 6 \, a^{3} b^{4} x + 180 \, a b^{5} x^{2} + 72 \, a^{2} b^{4} x + 360 \, b^{5} x^{2} + 6 \, a^{3} b^{3} + 360 \, a b^{4} x + 72 \, a^{2} b^{3} + 720 \, b^{4} x + 360 \, a b^{3} + 720 \, b^{3}\right )} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{7}} \]

[In]

integrate(exp(-b*x-a)*x^3*(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-(b^9*x^6 + 3*a*b^8*x^5 + 3*a^2*b^7*x^4 + 6*b^8*x^5 + a^3*b^6*x^3 + 15*a*b^7*x^4 + 12*a^2*b^6*x^3 + 30*b^7*x^4
+ 3*a^3*b^5*x^2 + 60*a*b^6*x^3 + 36*a^2*b^5*x^2 + 120*b^6*x^3 + 6*a^3*b^4*x + 180*a*b^5*x^2 + 72*a^2*b^4*x +
360*b^5*x^2 + 6*a^3*b^3 + 360*a*b^4*x + 72*a^2*b^3 + 720*b^4*x + 360*a*b^3 + 720*b^3)*e^(-b*x - a)/b^7

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 0.20 (sec) , antiderivative size = 175, normalized size of antiderivative = 0.44 \[ \int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx=-x^4\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}\,\left (3\,a^2+15\,a+30\right )-b^2\,x^6\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}-\frac {6\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}\,\left (a^3+12\,a^2+60\,a+120\right )}{b^4}-3\,b\,x^5\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}\,\left (a+2\right )-\frac {6\,x\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}\,\left (a^3+12\,a^2+60\,a+120\right )}{b^3}-\frac {x^3\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}\,\left (a^3+12\,a^2+60\,a+120\right )}{b}-\frac {3\,x^2\,{\mathrm {e}}^{-a-b\,x}\,\left (a^3+12\,a^2+60\,a+120\right )}{b^2} \]

[In]

int(x^3*exp(- a - b*x)*(a + b*x)^3,x)

[Out]

- x^4*exp(- a - b*x)*(15*a + 3*a^2 + 30) - b^2*x^6*exp(- a - b*x) - (6*exp(- a - b*x)*(60*a + 12*a^2 + a^3 + 1
20))/b^4 - 3*b*x^5*exp(- a - b*x)*(a + 2) - (6*x*exp(- a - b*x)*(60*a + 12*a^2 + a^3 + 120))/b^3 - (x^3*exp(-
a - b*x)*(60*a + 12*a^2 + a^3 + 120))/b - (3*x^2*exp(- a - b*x)*(60*a + 12*a^2 + a^3 + 120))/b^2